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Uso de datos estadísticos: Gráficos de Weibulll


Introducción

La práctica de la CEA lleva muchas veces a la necesidad de aplicar conceptos de ingeniería que no todos los amateurs conocen y aplican. Uno de ellos es el uso de los llamados asi Gráficos de Weibull. Los mismos brindan una técnica para analizar y mostrar gráficamente valores de fallas y porcentajes en un Gráfico Weibull de probabilidad. De esta manera uno puede estimar que porcentaje falla a que determinado valor de solicitación y la forma de la distribución estadística de esta falla. Al hacerlo en forma gráfica también se facilita la tarea de interpretación de los resultados.


Aplicación el gráfico de Weibull

Durante el transcurso de la aplicación de criterios de diseño, para lo que es la cohetería experimental amateur, como rama de la ingeniería se requiere fijar determinados valores de, por ejemplo, resistencia a la tracción, o la resistencia a la presión de un tubo motor. Entonces que se hace?: se toman los valores teóricos de tablas o dados por el fabricante. Pero...... uno ha visto que éstos valores son muy generales y suelen estar apartados de la realidad. Si se desea tener cálculos más exactos se deben tener datos mas exactos.

¿Porqué uno desea tener cálculos más exactos?
Lo hace para ajustar los coeficientes de seguridad. Ajustando los coeficientes de seguridad se obtiene una mayor eficiencia en un cohete, de forma tal que se pueden lograr mayores altura por ejemplo o reducir la cantidad de fallas.

¿Esto como se vé en la práctica?
Podemos tomar un ejemplo de un tubo motor en el cual deseo determinar cual es su presión de rotura, aplicar un coeficiente de seguridad y así poder saber cual sería su presión máxima de trabajo. Para ello uno tomaría una muestra del tubo motor que se desea emplear, le hace una prueba hidráulica y determina su presión de rotura. Supongamos que la misma es 150 megapascales, si uno toma otra porción de tubo y vuelve a hacer el ensayo supone que obtendría igual valor de rotura.
En la práctica, a veces es asi y a veces resulta que uno obtiene valores diferentes por distintos motivos. Entonces si uno hace un ensayo y en el ensayo obtiene 15 megapascales como presión de rotura podría asumir que con un factor de seguridad de 1,5 podría trabajar con 10 megapascales de presión de trabajo. Si uno hace varios ensayos y por ejemplo obtiene valores de 120, 170, 150, uno podría pensar que tomando el valor más bajo estaría cubierto, sin embargo esto no es así y ahi interviene usar un Gráfico de Weibull.

En un gráfico de Weibull lo que se hace es realizar una serie de ensayos para obtener valores, los grafica en el gráfico de Weibull y ahi podrá, por ejemplo, saber que con una probabilidad de 99% la presión de rotura sería, por ejemplo, 110 kilos.

La aplicación típica de este tipo de gráfico es para tornillos que sujetan la tobera, la tapa del motor; ya que en estos casos lo que me interesa es que, por ejemplo, los tornillos de la tapa soporten determinada presión de la cámara de combustion sin romperse y los tornillos de la tobera se corten a determinada presión.

Alcance

No se pretende desarrollar en este artículo toda la teoría y práctica del gráfico de Weibull. El objetivo es brindar la información necesaria para su aplicación simple posibilitando asi usar una herramienta más de la ingeniería.
Un ejemplo típico es el mencionado para la aplicación del cálculo de tornillos que retienen tapas y toberas en motores-cohete. Otro caso de interés es la determinación de la cantidad de tornillos para retener dos etapas. Ahi se requiere que mantenga unidas las dos etapas y que garantice un valor mínimo de resistencia, luego de accionarse un dispositivo pirotécnico, los tornillos se deben cortar con un valor que no debe superar un máximo. Entonces si se dispone de un lote de tornillos la pregunta es si el mismo es apto paara tal fin? y cuantos tornillos se debe uasr para satisfacer los requerimientos de diseño.


Preparación del gráfico de Weibull

La forma de preparar el gráfico de Weibull se explica mediante un ejemplo.

Supongamos que hemos realizado un ensayo de resistencia al corte de un lote de tornillos. Para ello se tomaron 10 tornillos y se determinó cual es el valor de su resistencia al corte. Los valores obtenidos son: 140, 90, 190, 220, 270, 200, 115, 170, 200 y 330 kilos.

  Paso nº 1

Ordenar los valores en forma ascendente, ver cuadro nº 1.

Valores de rotura
90
Ordenar
115
140
de
170
190
menor
200
220
a
260
270
mayor
330
 

Cuadro nº 1 Valores medidos ordenados de menor a mayor.

  Paso nº 2

De la Tabla nº 1 ó nº 2, según corresponda, encontrar la columna que corresponde al tamaño de muestra. Copiar los valores de los ranking de mediana en una columna paralela a la columna de los datos ordenados, ver cuadro nº 2.

Valores de rotura
% de ranking de medianas
90
6.7
115
16.2
140
25.9
170
35.5
190
45.2
200
54.8
220
64.5
260
74.1
270
83.8
330
93.3
Cuadro nº 2 Valores medidos y valores de ranking de medianas.

  Paso nº 3

Poner el nombre a la escala horizontal, en nuestro caso podría ser "resistencia al corte" y la unidad que se considera, en nuestro caso podría ser "kilos". Seleccionar los valores de la escala de resistencia al corte de manera tal que los datos obtenidos queden apróximadamente en la mitad del gráfico, ver gráfico nº 1.

  Paso nº 4

Graficar los datos con sus correspondientes porcentaje de medianas, los cuales van en la escala vertical en el papel de Weibull.
Trazar una línea recta que pase por todos los puntos, o una línea más cercana a esta línea hipotética, de manera tal que la mitad de los puntos queden de un lado de la línea y la otra mitad de los puntos queden del otro lado de la línea. Ver gráfico nº 1 ( picar sobre la imagen).

Gráfico nº 1 Ejemplo de graficar los valores del cuadro nº 2


Interpretación de resultados del gráfico de Weibull

Una vez hecho el gráfico se puede:

  Conocer el porcentaje de tornillos que van a soportar un determinado valor de rotura como mínimo, por ejemplo, el 90% de los tornillos van a soportar un valor de resistencia a la rotura de 100.

  Obtener qué porcentaje de tornillos va a fallar, dado un determinado valor de resistencia a la rotura, por ejemplo el 56% de los tornillos va a soportar 210 kilogramos.

El otro dato de interés que se obtiene es de la pendiente de la recta. Para determinar el valor de la pendiente de la recta usar el gráfico que está arriba a la izquierda. Este valor da información sobre la forma de distribución.

Un valor de 3,5 indica una distribución normal.
Distribuciones menores a 3,5, por ejemplo 1,5 implica una forma de distribución sesgada a la derecha. Si se graficó valores de rotura de tornillos, en la práctica indicaría que hay una gran concentración de tornillos con valores bajos de resistencia a la rotura.
Un valor, como por ejemplo 8, indica una distribución sesgada a la izquierda y en la práctica muestra de que la mayor parte de los valores de rotura del tornillo está dado en valores altos y hay alguna pequeña cantidad que tiene valores bajos.

A todo esto se menciona que una distribución normal es la que tiene igual cantidad de valores bajos como valores altos respecto a un valor medio (esto dicho con mucha simplificación....).

Como referencia menciono que para valores menores a uno la distribución es exponencial y en ensayos de vida de mecanismos muestra que hay fallas tempranas motivadas por deficiencias en la fabricación o en el armado.
Para pendientes mayores que uno la distribución, en caso de haber graficado también un mecanismo, implica que hay fallas por fatiga o por desgaste, en particular cuando la pendiente es muy alta.


Gráfico de Weibull en blanco

Se brinda en el gráfico nº 2 una hoja para hacer el Grafico de Weibull.
Para obtenerla picar sobre la imagen.

Gráfico nº 2 Hoja para hacer el Gráfico de Weibull



Valores de ranking de medianas.

Número de orden
Tamaño de muestra
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
29.3
20.6
15.9
12.9
10.9
9.4
8.3
7.4
6.7
6.1
5.6
5.2
4.8
4.5
2
70.7
50.0
38.6
31.4
26.4
22.8
20.1
18.0
16.2
14.8
13.6
12.6
11.7
10.9
3
79.4
61.4
50.0
42.1
36.4
32.1
28.6
25.9
23.6
21.7
20.0
18.6
17.4
4
84.1
68.6
57.9
50.0
44.0
39.3
35.5
32.4
29.8
27.5
25.6
23.9
5
87.1
73.9
63.6
56.0
50.0
45.2
41.2
37.9
35.0
32.6
30.4
6
89.1
77.2
67.9
60.7
54.8
50.0
46.0
42.5
39.5
37.0
7
90.6
79.9
71.4
64.5
58.8
54.0
50.0
46.5
43.5
8
91.7
82.0
74.1
67.6
62.1
57.5
53.5
50.0
9
92.6
83.8
76.4
70.2
65.0
60.5
56.5
10
93.3
85.2
78.3
72.5
67.4
63.0
11
93.9
86.4
80.0
74.4
69.5
12
94.4
87.4
81.4
76.1
13
94.8
88.3
82.6
14
95.2
89.1
15
95.5
Tabla nº 1: Valores de medianas para cantidad de muestras ensayadas entre 2 y 15.


Número de orden
Tamaño de muestra
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1
4.2 4.0 3.8 3.6 3.4 3.2 3.1 3.0 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.4 2.3
2
10.3 9.7 9.2 8.7 8.3 7.9 7.5 7.0 6.9 6.6 6.4 6.1 5.9 5.7 5.5
3
16.4 15.4 14.6 13.8 13.1 12.5 12.0 11.5 11.0 10.6 10.2 9.8 9.4 9.1 8.8
4
22.5 21.2 20.0 19.0 18.1 17.2 16.4 15.7 15.1 14.5 13.9 13.4 13.0 12.5 12.1
5
28.6 26.9 25.5 24.2 23.0 21.9 20.9 20.0 19.2 18.4 17.7 17.1 16.5 15.9 15.4
6
34.7 32.7 30.9 29.3 27.9 26.6 25.4 24.3 23.3 22.4 21.5 20.7 20.0 19.3 18.7
7
40.8 38.5 36.4 34.5 32.8 31.3 29.9 28.6 27.4 26.3 25.3 24.4 23.5 22.7 22.0
8
46.9 44.2 41.8 39.7 37.7 35.9 34.3 32.9 31.5 30.3 29.1 28.1 27.1 26.1 25.3
9
53.1 50.0 47.3 44.8 42.6 40.6 38.8 37.1 35.6 34.2 32.9 31.7 30.6 29.6 28.6
10
59.2 55.8 52.7 50.0 47.5 45.3 43.3 41.4 39.7 38.2 36.7 35.4 34.1 33.0 31.9
11
65.3 61.5 58.2 55.2 52.5 50.0 47.8 45.7 43.8 42.1 40.5 39.0 37.7 36.4 35.2
12
71.4 67.3 63.6 60.3 57.4 54.7 52.2 50.0 47.9 46.1 44.3 42.7 41.2 39.8 38.5
13
77.5 73.1 69.1 65.5 62.3 59.4 56.7 54.3 52.1 50.0 48.1 46.3 44.7 43.2 41.8
14
83.6 78.8 74.5 70.7 67.2 64.1 61.2 58.6 56.2 53.9 51.9 50.0 48.2 46.6 45.1
15
89.7 84.6 80.0 75.8 72.1 68.7 65.7 62.9 60.3 57.9 55.7 53.7 51.8 50.0 48.4
16
95.8 90.3 85.4 81.0 77.0 73.4 70.1 67.1 64.4 61.8 59.5 57.3 55.3 53.4 51.6
17
  96.0 90.8 86.2 81.9 78.1 74.6 71.4 68.5 65.8 63.3 61.0 58.8 56.8 54.9
18
    96.2 91.3 86.9 82.8 79.1 75.7 72.6 69.7 67.1 64.6 62.4 60.2 58.2
19
      96.4 91.7 87.5 83.6 80.0 76.7 73.7 70.9 68.3 65.9 63.6 61.5
20
        96.6 92.1 88.0 84.3 80.8 77.6 74.7 71.9 69.4 67.0 64.8
21
          96.8 92.5 88.5 84.9 81.6 78.5 75.6 72.9 70.4 68.1
22
            96.9 92.8 89.0 85.5 82.3 79.3 76.5 73.9 71.4
23
              97.0 93.1 89.4 86.1 82.9 80.0 77.3 74.7
24
                97.2 93.4 89.8 86.6 83.5 80.7 78.0
25
                  97.3 93.6 90.2 87.0 84.1 81.3
26
                    97.4 93.9 90.6 87.5 84.6
27
                      97.5 94.1 90.9 87.9
28
                        97.6 94.3 91.2
29
                          97.6 94.5
30
                            97.8
Tabla nº 2: Valores de medianas para cantidad de muestras ensayadas entre 16 y 30.

 


Ultima modificación: 10 de Julio 2005